Poisson

 
A) Se considera a la distribución de Poisson como una forma límite de la binomial cuando n-->∞­­­ pero también es posivle considerarla en sí misma como un proceso de Poisson.
 
Ambas distribuciones, la binomial y la de Poisson que son discretas, junto con la normal que es continua y que estudiaremos en el siguiente tema, se aplican en procesos Físicos, entre otros:
 
En la industria en el control de calidad, en biología para determinar el número de bacterias, en física para calcular las partículas emitidas por una sustancia radiactiva, en las instituciones de seguros para verificar el número de accidentes.
 

Las características de esta distribución son:

  • En el proceso que se estudia se identifica una unidad que puede ser: de tiempo, de espacio, de volumen. etcétera.
  • Se contabiliza un cierto número de ocurrencias eventuales para cada unidad.
  • La variable aleatoria puede tomar una cantidad infinita pero numerable de valores. X=0,1,2,..
Ejemplos:
 

Unidad: un litro

Ocurrencia eventual: haya bacterias de cólera.

Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de bacterias por litro que hay en el agua de una delegación política.

 

Unidad: 24 hrs

Ocurrencia eventual: robo de vehículos

Proceso con distribución de Poisson: calcular el número de vehículos robados cada 24 hrs en una ciudad

 

Unidad: una página de un libro

Ocurrencia eventual: “erratas” detectadas en el libro

Proceso con distribución de Poisson: las “erratas” por pagina en un libro de reciente publicación.

 

B) Un problema que satisface las enteriores características se resuelve con la distribución de probabilidades de Poisson con la relación:
 
                       
donde:
el numero irracional e= 2.71828...
ƛ letra (landa) del alfabeto griego es el parámetreo que determina el valor de esta distribución.
 
C) algunas propiedades de la distribución de Poisson son:
 
La media u= ƛ
 
Varianza σ²=  ƛ
 
Desviación σ = √ƛ
 
D) Uso de la distribución de Poisson. (ejercicio de muestra)
 
Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0.001. Calcular la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar:
 
a) de exactamente 3 personas.
 
b) más de 2 personas presenten reacción dañina.
 
Solución:
 
Aplicando la distribución de Poisson: 
 
P(X personas sufran reacción)=              
 
con ƛ= np= 3000 (0.001)=3; x=3

entonces
a) Exactamente 3 personas
 
=0.2240
 
 
 
b) Más de 2 personas
 
En conclusión:
Como en el problema, cuando el valor de n es grande y la probabilidad p de ocurrencia del suceso está cerca de cero. de modo que el resultado de q= 1-p está cerca de 1, la solucion se vuelve un poco dificil si aplicáramos la distribución binomial.
En general, se aplica la distribución de Poisson cuando el número de repeticiones del experimento es almenos de 50(n≥50) y np es menor que 5. En estos casos la distribución binomial se aproxima a la idstribución de Poisson y cuando se aplica ésta, generalmente se conocen los valores de n y p.

Si aplicamos la distribucuón de Poisson en sí misma, no se conoce el valor de p y es necesario que calculemos el de ƛ