Uno de los más importantes ejemplos de una probabilidad continua es la distribución normal o curva normal.En estadística es la más importante de las distribuciones de frecuencias, ya que la mayoría de los procedimientos estadísticos se basan en ella.
El estudio formal de la curva normal y de la tabla de áreas corresponde a un nivel superior, pero a nosotros nos es posible dar una explicación conceptual y lograr que podamos manejar la tabla de áreas para calcular la probabilidad de un suceso.
Debido a la intervención del matemático karl Gauss (1777-1855), en el estudio de ella,algunos autores la llaman distribución gaussiana aún cusndo esta denominación es cada vez menos utilizada.
La distribución normal se da con la relación:
donde
σ = desviación estándar: π = 3.1416; e= 2.71828...
Z = variable normalizada (calificación estándar Z)
A la relación citada para obtener la distribución normal se le conoce como forma tipificada y se dice que Z se distribuye normalmente con la media cero y varianza uno.
El área total limitada por la curva y el eje de las x es uno, de ahi que el área bajo la curva entre dos ordenadas x= a y x= b, donde a
A) Algunas propiedades de la distribución normal por la relación antes citadas son:
La media es µ
La varianza es σ²
La desviación típica es σ
Desviación media σ √2/π= 0.7979 σ
Si en el histograma de distribución de frecuencias:
Se aumenta la cantidad de observaciones, entonces los intervalos de clase se hacen más "angostos" y el polígono de frecuencias se transforma en una curva suave:
IMG_20150306_185450.jpg
B) Propiedades de la curva normal
1) Es simétrica y tiene forma de campana.
2) La media aritmética está a la mitad y divide el área en dos mitades.
3) Teóricamente la curva se extiende en ambas direcciones y tiende gradualmente a unirse con la recta horizontal hasta el infinito sin tocarla nunca, es asíntota.
La curva normal se acepta como modelo ideal de una situación real. Su uso y el de la tabla de áreas normales permiten obtener la probabilidad de un suceso:
IMG_20150306_185516.jpg
Observando la figura aceptamos:
1) el punto de la curva normal es la media aritmética
_
X = µ y es igual a cero
µ= 0
2) la desviación estándar s= σ y es igual a 1
σ= 1
El área total limitada por la curva y el eje de las abcisas es igual a 1 (desviación estándar σ ) y equivale al 100% de los casos; de tal manera que la proporción de área bajo la curva limitada por dos ordenadas (perpendiculares) levantadas en puntos del eje de las abcisas, expresa el porcentaje de casos comprendidos entre las calificaciones Z correspondientes a los dos puntos en que se trazaron.
Entre la media µ=0 y el punto 1 de desviación estándar se encuentra el 34.13% del total de casos y el área bajo la curva es igual a 0.4313.
Entre la media µ=0 y el punto -1 de desviación estándar está otro 34.13% de todos los casos, y el área bajo la curva es igual a 0.4313.
De donde, entre Z=-1 y Z=+1 se encuentra el 68.27% del total de todos los casos, y el área bajo la curva es de 0.6827.
Entre la media µ=0 y el punto 2 de desviación estándar se encuentra 34.13+13.59= 47.72% de todos los casos y el área bajo la curva = 0.3413+0.1359=0.4772.
Entre la media µ= 0 y el punto -2 de desviación estándar, se encuentran otros 34.13+12.59= 47.72% de todos los casos, y el área bajo la curva es igual a 0.3413+0.1359= 0.4772.
Por lo tanto, entre Z= -2 y Z= +2 se encuentran el 95.45% de todos los casos, y el área bajo la curva = 0.4772 + 0.4772= 0.9544.
