Reglas de adición
Los problemas de probabilidad de interés en situaciones prácticos son sucesos compuestos que requerirían para su solución, la enumeración de muchos puntos muestrales, procedimiento lento y cansado; de ahí, que haya un segundo procedimiento que se le llama composición de sucesos.
La composición se forma con dos o mas sucesos y se realiza con la unión o con la intersección de conjuntos o con una combinación de ambos; se basa en la clasificación de los sucesos, las relaciones entre ellos y la ley aditiva y la multiplicativa.
Unión de conjuntos
Dados conjuntos a y b se define el suceso a u b como aquel que se cumple cuando se verifica a o b; tiene los mismo propiedades que la unión de conjutnos.
a u s= s dando s es el espacio muestral
a u 0= a
a u a= s
Si b c a entonces a u b = a
Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos a y b se define el suceso a n b como áquel que se cumple cuando tienen lugar a y b, a la vez; tiene las mismas propiedades que la intersección de conjuntos.
a n s= a donde s es el espacio muestral
a n 0= 0
a n a= 0
Si b c a entonces a n b = b
Todas las demás propiedades de la unión o intersección de conjutnos se verifican para la unión o intersección de sucesos.
Diferencia de sucesos
dados dos sucesos a y b, se define el suceso a-b como áquel que se cumple cuando se cumple a pero no b.Se expresa a-b= anb.
Ley de aditividad de la probabilidad
La probabilidad de que un suceso u otro ocurra se calcula en las relaciones:
P(a.b)P(a)+P(b) / P(a.b)= P(a)+P(b)-(anb)
Para saber cuál de las dos relaciones debemos aplicar, es necesario revisar si los sucesos don o no mutuamente excluyentes.
a)Cuando dos sucesos son mutuamente excluyentes se tiene anb=0, se utiliza entonces la primera relación.
**es decir, la probabilidad de que a.b ocurran indistintamente, es igual a la suma de sus probabilidades individuales.
b)Cuando dos sucesos a y b no son mutuamente excluyentes, se tiene a n b=0 se utiliza entonces la segunda relación. Restar P(anb) tiene como función rectificar el doble conteo que se lleva a cabo cuando se suman P(a) y P(b).
**Ejercicio
Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer año comprarán 18 boletos; los de segundo año 12 boletos. Si son 50 boletos ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno de primero o segundo gane la rifa?
Solución:
a= gana el alumno de primero
b= gana el alumno de segundo
El suseco que no interesa es E=a.b, los sucesos a y b son mutuamente excluyentes es decir anb= 0 entonces:
P(a.b)=P(a)+P(b)= 18/50 + 12/50= 30/50 = 3/5= 0.6= 60%