Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional

 
A) Sucesos independientes
-Son aquellos en los que la ocurrencia de uno, no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
 
*Ejemplo:
-Se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa; en la bolsa hay 3 canicas, 1 roja, 1azul y 1 verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y una canica azul.?
 
solución:
Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica que se saca de la bolsa, ni viceversa, se dice que los sucesos son independientes.
 
a:{1,2,3,5} números primos
b: canica azul
 
P(ayb)= P(a).P(b)= (4/6)(1/3)= 4/18 = 0.22= 22%
 
Esto lo podemos comprobar contando de los resultados posibles, los que son favorables a los sucesos a y b así:
(a1), (a2), (a3), (a4), (a5), (a6)
(r1), (r2), (r3), (r4), (r5), (r6)          
(v1), (v2), (v3), (v4), (v5), (v6)
 
 Hemos marcado con una raya los reusltados que satisfacen el problema, canica azul y número primo.
 
P(ayb)= 4 resultados favorable
             18 resultados posibles    = 4/18= 0.22 = 22%
 
 
B) Sucesos dependientes
-Son aquellos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En esta caso, en la relación P(ayb)=P(a).P(b) se debe de tener cuidado al calcular P(b) porque esta probabilidad está afectada porque ya ocurrió el evento a.
 
 
C) Probabilidad condicional
-La probabilidad condicional se aplica en el cálculo de un suceso cuando se sabe que ha ocurrido otro con el cual se relacionan; es decir, lo sucesos son dependientes.
 
*ejemplo
Calcular cual es la probabilidad de que baje la temperatura en el Valle de México si hay norte en el Golfo de México.
 
_Son a y b dos sucesos dependientes tales que P(a)>0.- para expresar la probabilidad de b dado que a ocurrió se expresa P(b/a)
 
_analogamente si P(b)>0.- para señalar la probabilidad de a dado que b ocurrió se expresa P(a/b).
 
vamos a considerar P(b/a)
 
La probabilidad de B/a se realiza en un nuevo espacio muestral, que es un subconjunto del espacio muestral original s. es decir, el espacio muestral original s se ve modificado por que ya ocurrió el suceso a.
 
Propiedades
La propiedad condicional satisface las propiedades de la frecuencia relativa en la forma siguiente:
 
1) para los eventos anb   0≤P(anb) ≤1 Es decir, la probabilidad de anb es mayor o igual a cero y menor o igual que uno.
 
2) P(anb)= 1 si y solo si anb ocurre en las n repeticiones
 
3) P(anb)= 0 si y solo si anb nunca ocurre en las repeticiones
 
Además cumple con lo siguiente:
 
a1) Para sucesos dependientes
-son tres sucesos A1, A2, A3 ocurran, es el producto de la probabilidad de que ocurra A1, por la probabilidad de que ocurra A2 si ya sucedió A1, por la probabilidad de que ocurra A3 sabiendo que A1 y A2 han ocurrido.
 
a2) Para sucesos independientes
-para dos sucesos a y b independientes, tales que P(a)>0 y P(b)>0, se tiene P(anb)= P(a).P(b) relación que obtuvimos así:
 
P(b/a)= P(b) ya que la ocurencia del suceso a no afecta la probabilidad de que suceda b.          analogamente
 
P(a/b)= P(a) por ser sucesos independientes.
 
Teoremas: considerando la relación de la probabilidad condicional
 
P(b/a)=  P(anb)
               P(a)             Despejamos
 
P(anb)= P(a). P(b/a)       como    P(b/a)= P(b) obtenemos:
 
P(anb)= P(a).P(b).
 
 
a3) señalamos que si a y b son sucesos independientes cuumplan la siguiente relación
 
P(aub)= P(a)+P(b)-P(a).P(b)
 
*ejemplo
una maestra tiene cuatro paletas de colores diferentes y tres libros tambien diferentes; quiere regalarle a sus mejores alumnos un libro y una paleta y para repartirlos hace un sorteo. juanito quiere la paleta amarilla y ellibro de aviones, pero se conformaría con que almenos en uno de los dos regalos le toque lo que él quiere ¿Que probabilidad tiene de que se cumple su deseo?
 
solución
A= sale paleta amarilla
B= sale libro de aviones
 
Para juanito el suceso que le conviene es aub. como a y b son sucesos independientes, aplicamos:
 
P(aub)= P(a)+(P(b)-P(a).P(b)
 
P(aub)= (1/4+!/3)-(1/4)(1/3)= 7/12-1/12= 1/2